Question

某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3-

2

m+1

．已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

Answer 1

分析：（I）每件产品的成本为

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，则利润函数y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函数y=28-m-

16

m+1

，构造条件应用基本不等式，可求得函数y的最大值及对应的m值．

解答：解：（I）每件产品的成本为

8+16x

x

元，且x=3-

2

m+1

，则
今年的利润y=1.5×

8+16x

x

•x-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m=28-

16

m+1

-m（其中m≥0），
所以，所求的函数为y=28-m-

16

m+1

m≥0；
（II）因为函数y=28-m-

16

m+1

=29-[

16

m+1

+m+1]≤29-2

16 m+1 (m+1)

=21，
当且仅当

16

m+1

=m+1（其中m≥0），即m=3（万元）时，等号成立；
所以，今年该产品利润的最大值为21万元，此时年促销费为3万元．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，也考查了利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求函数的最值问题，是中档题．