题目内容
已知函数.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)若定义在上奇函数满足,且当时,,求在上的反函数;
(3)对于(2)中的,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)若定义在上奇函数满足,且当时,,求在上的反函数;
(3)对于(2)中的,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(1);(2);(3).
试题分析:(1)这实质上是解不等式,即,但是要注意对数的真数要为正,,;(2)上奇函数满足,可很快求出,要求在上的反函数,必须求出在上的解析式,根据的定义,在上也应该是一个分段函数,故我们必须分别求出表达式,然后分别求出其反函数的表达式;(3)根据已知可知是周期为4的周期函数,不等式在上恒成立,求参数的取值范围问题,一般要研究函数的的单调性,利用单调性,可直接去掉函数符号,由已知,我们可得出在上是增函数,在上是减函数,又,而可无限趋近于,因此时,题中不等式恒成立,就等价于,现在我们只要求出的范围,而要求的范围,只要按的正负分类即可.
试题解析:(1)原不等式可化为 1分
所以,, 1分
得 2分
(2)因为是奇函数,所以,得 1分
①当时,
1分
此时,,所以 1分
②当时,, 1分
此时,,所以 1分
综上,在上的反函数为 1分
(3)由题意,当时,,在上是增函数,
当,,在上也是增函数,
所以在上是增函数, 2分
设,则
由,得
所以在上是减函数, 2分
由的解析式知 1分
设
①当时,,因为,所以,即;
②当时,,满足题意;
③当时,,因为,所以,即
综上,实数的取值范围为 3分
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