题目内容

记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）
【答案】分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误
解答：解：①当a=5时，x1=5，
，
，
∴①正确．
②当a=8时，x1=8，




∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；
③当n=1时，x1=a，∵a-（）=＞0，∴x1=a＞成立，
假设n=k时，，
则n=k+1时，，
∵≥≥，
∴＞
∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；
④∵≥xk，
由数列①②规律可知一定成立
故正确答案为①③④
点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力
练习册系列答案
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（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．设a为正整数，数列{xn}满足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，xn＞
a
-1；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xk=[
a
]．
其中的真命题有
①③④
①③④
．（写出所有真命题的编号）
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①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）
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①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）
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②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）

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