题目内容

(12分)  如图8-12,球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

 

 

 

【答案】

解  如图8-12,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中,

∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。

由正弦定理,得  =2r,∴r=a。

又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC,

∴P、O、O′共线,球的半径R=。又PO′===a,

∴OO′=R - a=d=,(R-a)2=R2 – (a)2,解得R=a,

∴S=4πR2=3πa2

【解析】略

 

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