题目内容
【题目】设函数,其中
是自然对数的底数.
(1)若,
,证明
;
(2)是否存在实数,使得函数
在区间
上有两个零点?若存在,求出
的取值范围:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)不存在实数,详见解析
【解析】
(1)分类讨论,时直接证明,
时,利用导数研究函数的单调性,最小值可证得不等式成立;
(2)时,由(1)可知无零点,
时,仍然利用导数研究函数的单调性,函数极值,结合零点存在定理确定零点个数.
(1)证明:①若,则当
时,
,
,所以
;
②若,因为
,
设,
,
当时,
,所以
在
上单调递增,
所以,
所以在
上单调递增,所以
,
综上所述,若,
,则
.
(2)不存在实数,使得函数
在区间
上有两个零点.
理由如下:
(1)若,由(1)知,
在
上单调递增,且
,所以函数
在区间
上无零点;
(2)若,由(1)知,当
时,
所以在
上单调递增.因为
,
,
所以在
上存在唯一的零点
,
即方程在
上存在唯一解
,
且当时,
,当
,
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
,所以
在
无零点;
当时,
,
,
所以在
上有唯一零点,
故当时,
在
上有一个零点,
综上所述,不存在实数,使得函数
在区间
上有两个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】网购已经成为一种新型的购物方式,2018年天猫双11,仅1小时47分钟成交额超过1000亿元,比2017年达到1000亿元的时间缩短了7个小时,为了研究市民对网购的依赖性,从A城市16﹣59岁人群中抽取一个容量为100的样本,得出下列2×2列联表,其中16﹣39岁为青年,40﹣59岁为中年,当日消费金额超过1000元为消费依赖网购,否则为消费不依赖网购.
依赖网购 | 不依赖网购 | 小计 | |
青年(16﹣39岁) | 40 | 20 | |
中年(40﹣59岁) | 20 | 20 | |
小计 |
(1)完成2×2列联表,计算X2值,并判断是否有95%的把握认为网购依赖和年龄有关?
(2)把样本中的频率当作概率,随机从A城市中选取5人,其中依赖网购的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列及期望(附:X2,当X2>3.841时,有95%的把握说事件A与B有关,当X2≤3.841时,没有95%的把握说事件A与B有关)