Question

（2013•宝山区二模）某同学为了研究函数f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

 (0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则f（x）=AP+PF．那么，可推知方程f(x)=

22

2

解的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：由题意可得当A、P、F共线，即x=

1

2

时，f（x）取得最小值为

5

＜

22

2

，当P与B或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

22

2

．由此作出函数的图象可得答案．

解答：解：由题意可得函数f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

=AP+PF，
当A、P、F共线，即x=

1

2

时，f（x）取得最小值为

5

＜

22

2

，
当P与B或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为

2

+1＞

22

2

．
故函数f（x）的图象应如图所示：
而方程f(x)=

22

2

解的个数就是函数f（x）与y=

22

2

的图象交点的个数，
故方程f(x)=

22

2

解的个数应为2
故选C

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属中档题．