题目内容

(1)求AC与BD所成角的余弦值;
(2)求点D到平面ABC的距离;
(3)连接CE,在CE上取点G,使EG=
2
| ||
7 |
分析:(1)以E点为原点,以EA为x轴,EB为y轴,ED为z轴建立空间直角坐标系,分别求向量
与
,最后根据向量的夹角公式可求出AC与BD所成角的余弦值;
(2)先求平面ABC的一个法向量
,以及向量
,设D到平面ABC的距离为d,然后根据d=
进行求解;
(3)先求出点G的坐标,然后根据向量
与
的数量积为0,判定AC与BG垂直.
AC |
BD |
(2)先求平面ABC的一个法向量
n |
DB |
| ||||
|
|
(3)先求出点G的坐标,然后根据向量
BG |
AC |
解答:
解:(1)以E点为原点,以EA为x轴,EB为y轴,ED为z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,2,
),D(0,0,
)
∴
=(-1,2,
),
=(0,-1,
)∴
•
=1
而|
|=2
,|
|=2,
设AC与BD所成的角为θ,则cosθ=
=
…(4分)
(2)设平面ABC的法向量为
=(x,y,z),则有
∴
=(-
,-
,1)
又
=(0,1,-
),
设D到平面ABC的距离为d,则d=
=
…(8分)
(3)可求得cos∠BEC=
,sin∠BEC=
则G(0,
,
)
∴
=(0,-
,
)
∴
•
=0
∴
⊥
…(12分)

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,2,
3 |
3 |
∴
AC |
3 |
BD |
3 |
AC |
BD |
而|
AC |
2 |
BD |
设AC与BD所成的角为θ,则cosθ=
| ||||
|
|
| ||
8 |
(2)设平面ABC的法向量为
n |
|
∴
n |
3 |
3 |
又
DB |
3 |
设D到平面ABC的距离为d,则d=
| ||||
|
|
2
| ||
7 |
(3)可求得cos∠BEC=
2
| ||
7 |
| ||
7 |
4 |
7 |
2
| ||
7 |
∴
BG |
3 |
7 |
2
| ||
7 |
∴
BG |
AC |
∴
BG |
AC |
点评:本题主要考查了利用空间向量的方法解决立体几何问题,同时考查了计算能力,属于中档题.

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