Question

16．已知定义在R上的函数f（x），对于任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1
（1）求f（0）的值；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，即可求f（0）的值；
（2）利用函数单调性的定义，结合抽象函数的关系进行证明即可．

解答 （1）解：对于任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0，则f（1）=f（1）f（0），
∵f（1）≠0，∴f（0）=1．
（2）证明：当x＜0，则-x＞0，
则f（x）•f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
则f（-x）＞0，则f（x）＞0，
即f（x）＞0恒成立
设x₁，x₂∈R，且x₂＜x₁，则x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}＞1$，
∵对任意的x，y∈R，总有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上为增函数．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数最值的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，