Question

以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．设e₁和e₂分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，给出下列结论：①e₁²+e₂²=e₁²e₂²②e₁²+e₂²≥4③e₁²+e₂²＜e₁²e₂²④e₁²+e₂²＞e₁²e₂²．其中正确结论的序号是

①②

．（请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：设互为共轭的两个双曲线方程分别为

x2

a2

-

y2

b2

=1和

y2

b2

-

x2

a2

=1，根据离心率的公式化简得到

1

e12

+

1

e22

=1，进而可得e₁²+e₂²=e₁²e₂²．再利用基本不等式证出e₁e₂≥2，从而得到e₁²+e₂²=e₁²e₂²≥4，当且仅当e₁=e₂=

2

时等号成立．由此即可得到本题的正确选项．

解答：解：根据题意，可得
设互为共轭的两个双曲线方程分别为

x2

a2

-

y2

b2

=1和

y2

b2

-

x2

a2

=1，（a、b都是正数）
则它们的离心率满足e₁²=

a2+b2

a2

，e₂²=

a2+b2

b2

∴

1

e12

+

1

e22

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=

a2+b2

a2+b2

=1，化简得e₁²+e₂²=e₁²e₂²；
根据e₁、e₂都是大于1的正数，得e₁²e₂²=e₁²+e₂²≥2e₁e₂，
两边约去e₁e₂，得e₁e₂≥2，
因此e₁²+e₂²=e₁²e₂²≥4，当且仅当e₁=e₂=

2

时等号成立．
综上所述，可得①②两式成立，而③④两式都与①矛盾而不正确
故答案为：①②

点评：本题给出共轭双曲线的概念，叫我们判断关于共轭双曲线的离心率的几个式的正确性．着重考查了双曲线的基本概念和基本不等式求最值等知识，属于中档题．