Question

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，用坐标表示，结合点P（x，y）在曲线椭圆上，即可求得点P的坐标；
（2）设出BP的直线方程与椭圆方程联立，从而可求A、B的坐标，进而可得AB的斜率为定值；
（3）设AB的直线方程：，与椭圆方程联立，得，从而可确定，求出P到AB的距离，进而可表示△PAB面积，利用基本不等式可求△PAB面积的最大值．
解答：（1）解：由题可得，，
设P（x，y）（x＞0，y＞0）
则，（2分）
∴，
∵点P（x，y）在曲线上，则，
∴，从而，得．
则点P的坐标为．      （5分）
（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k（k＞0），（6分）
则BP的直线方程为：．
由得，
设B（x_B，y_B），则，
同理可得，则，．（9分）
所以AB的斜率为定值． （10分）
（3）解：设AB的直线方程：．
由，得，
由，得
P到AB的距离为，（12分）
则=．
当且仅当取等号
∴△PAB面积的最大值为．（14分）
点评：本题以椭圆的标准方程及向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积计算及利用基本不等式求最值，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行解题．