Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=P（0＜P＜1），且an+1=

an

1+an

n∈N^*
（1）若bn=

1

an

，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求证：

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知，得b_n+1-b_n=1∴数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）求出an=

1

n+ 1 p -1

＜

1

n

，再对

an

n+1

放缩，使得能求和运算，并将结果与1比较．

解答：解：（1）b1=

1

a1

=

1

P

∴bn+1-bn=

1 an+1 - 1 an = 1+an an - 1 an =1&

故数列{b_n}是以b1=

1

P

为首项，以1为等差的等差数列              
（2）证明：bn=

1

an

=

1

p

+(n-1)⇒an=

1

n+ 1 p -1

∵0＜p＜1

∴ 1 p -1＞0

⇒an=

1

n+ 1 p -1

＜

1

n

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

(n+1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项法求和、不等式的证明．变形构造转化．考查变形转化构造、放缩、计算等能力．