题目内容
已知函数g（x）=ax3+bx2+cx（a∈R且a≠0），g（-1）=0，则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）≤0．设x1，x2为方程f（x）=0的两根．
（1）求
的取值范围；
（2）若当|x1-x2|最小时，g（x）的极大值比极小值大
，求g（x）的解析式．
（1）求
| b |
| a |
（2）若当|x1-x2|最小时，g（x）的极大值比极小值大
| 4 |
| 3 |
分析：（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化简可得3(
)2-
-2≤0，由此求得
的取值范围．
（2）化简|x1-x2|的解析式为
(
-
)2+
，故a=b时，|x1-x2|2取最小值，即|x1-x2|取最小值，此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．分a＞0和a＜0两种情况分别求出极大值和极小值，根据g（x）的极大值比极小值大
，求g（x）的解析式．x1+x2
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（2）化简|x1-x2|的解析式为
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化简可得 3b2-ab-2a2≤0．
∵a≠0，∴3(
)2-
-2≤0． 解得-
≤
≤1，故
的取值范围是[-
，1]． …（4分）
（2）∵|x1-x2|2=(x 1+x 2)2-4x1•x2=(-
)2-4（
-
）=
(
-
) 2+
，
∵-
≤
≤1，故当
=1，即a=b时，|x1-x2|2取最小值，即|x1-x2|取最小值．…（7分）
此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．
当a＞0时 f（x）在 (-∞，-
)上是增函数，在(-
，0) 上是减函数，在（0，+∞） 上是增函数．
g（x）的极大值为g(-
)=
a，极小值为g（0）=0．
由题意
a-0=
，a=9，此时g（x）=9x3+9x2．…（10分）
当a＜0时，f（x）在 在 (-∞，-
)上是减函数，在(-
，0) 上是增函数，在（0，+∞） 上是减函数．
g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为g(-
)=
a．
由题意 0-
a=
，a=-9，此时g（x）=-9x3-9x2．…（13分）
化简可得 3b2-ab-2a2≤0．
∵a≠0，∴3(
| b |
| a |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
（2）∵|x1-x2|2=(x 1+x 2)2-4x1•x2=(-
| 2b |
| 3a |
| b |
| 3a |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
∵-
| 2 |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| a |
此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．
当a＞0时 f（x）在 (-∞，-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
g（x）的极大值为g(-
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
由题意
| 4 |
| 27 |
| 4 |
| 3 |
当a＜0时，f（x）在 在 (-∞，-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为g(-
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
由题意 0-
| 4 |
| 27 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，方程的根与系数的关系，倒数的运算，属于中档题．
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