题目内容

(2012•桂林一模)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,且AD=2,AB=AA1=4,∠BAD=60°,E为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC1∥平面EB1C;
(Ⅱ)求直线ED1与平面EB1C所成角.
分析:解法一:
(Ⅰ) 证明线面平行,即证AC1平行于面EB1C中的一条直线,即可;
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,根据AC1∥面EB1C,可得G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,求出EG及h,即可求得ED1与面EB1C所成角;
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立坐标系,用坐标表示点
(Ⅰ)表示出
ED1
=(-
3
.-1,4)
EB1
=(0,2,4),
EC
=(-
3
,3,0)
AC1=(-
3
,5,4)
(4分)
求出面EB1C的法向量,证明A
C1
n
=0
,即可证得结论;
(Ⅱ)设θ=<
n
ED1
,则cosθ=
n
ED1
|
n
|•|
ED1
|
=-
6
85
85
,设直线ED1与面EB1C所成角为α,则cosθ=cos(α+90°)=-sinα,从而可求直线ED1与面EB1C所成的角的大小.
解答:解法一:(Ⅰ) 证明:连接BC1,B1C∩BC1=F,连接EF,
因为AE=EB,FB=FC1,所以EF∥AC1(2分
因为AC1?面EB1C,EF?面EB1C
所以AC1∥面EB1C(4分)
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,
∵AC1∥面EB1C,∴G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,(6分)
则ED1=2
5
EG=
2
5
3
. (7分)
SB1EC=
51
,点E到平面B1CC1距离为
3

又∵VC1-B1EC=VE-C1B1C
51
h=4
3
.∴h=
4
17
.(10分)
设ED1与面EB1C所成角为α,则sinα=
h
GE
=
6
85
85

所以ED1与面EB1C所成角为arcsin
6
85
85
. (12分)
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,如图建立坐标系┉(1分)
因为∠BAD=60°,AD=2,所以AH=1,DH=
3

所以E(
3
,1,0)
D1(0,0,4),C(0,4,0),B1(
3
,3,4)
A(
3
,-1,0)
C1(0,4,4)(3分)
(Ⅰ)
ED1
=(-
3
.-1,4)
EB1
=(0,2,4),
EC
=(-
3
,3,0)
AC1=(-
3
,5,4)
(4分)
设面EB1C的法向量为
n
=(x,y,z),所以
n
EB1
=0
n
EC
=0

化简得
2y+4z=0
-
3
x+3y=0
令y=1,则
n
=(
3
,1,-
1
2
)
.(6分)
A
C1
n
=0
,AC1?面EB1C,∴AC1∥面EB1C.(8分)
(Ⅱ)设θ=<
n
ED1
,则cosθ=
n
ED1
|
n
|•|
ED1
|
=-
6
85
85
.(10分)
设直线ED1与面EB1C所成角为α,则cosθ=cos(α+90°)=-sinα.
sinα=
6
85
85
.(11分)
∴直线ED1与面EB1C所成的角的大小为arcsin
6
85
85
. (12分)
点评:本题考查线面平行,考查线面角,两法并举,传统方法需要添加必要的辅助线,向量方法,用代数方法解决几何问题,注意细细体会.
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