题目内容
(2012•桂林一模)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,且AD=2,AB=AA1=4,∠BAD=60°,E为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC1∥平面EB1C;
(Ⅱ)求直线ED1与平面EB1C所成角.
(Ⅰ)证明:AC1∥平面EB1C;
(Ⅱ)求直线ED1与平面EB1C所成角.
分析:解法一:
(Ⅰ) 证明线面平行,即证AC1平行于面EB1C中的一条直线,即可;
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,根据AC1∥面EB1C,可得G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,求出EG及h,即可求得ED1与面EB1C所成角;
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立坐标系,用坐标表示点
(Ⅰ)表示出
=(-
.-1,4),
=(0,2,4),
=(-
,3,0),AC1=(-
,5,4)(4分)
求出面EB1C的法向量,证明A
•
=0,即可证得结论;
(Ⅱ)设θ=<
,
>,则cosθ=
=-
,设直线ED1与面EB1C所成角为α,则cosθ=cos(α+90°)=-sinα,从而可求直线ED1与面EB1C所成的角的大小.
(Ⅰ) 证明线面平行,即证AC1平行于面EB1C中的一条直线,即可;
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,根据AC1∥面EB1C,可得G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,求出EG及h,即可求得ED1与面EB1C所成角;
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立坐标系,用坐标表示点
(Ⅰ)表示出
ED1 |
3 |
EB1 |
EC |
3 |
3 |
求出面EB1C的法向量,证明A
C1 |
n |
(Ⅱ)设θ=<
n |
ED1 |
| ||||
|
|
6
| ||
85 |
解答:解法一:(Ⅰ) 证明:连接BC1,B1C∩BC1=F,连接EF,
因为AE=EB,FB=FC1,所以EF∥AC1(2分
因为AC1?面EB1C,EF?面EB1C
所以AC1∥面EB1C(4分)
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,
∵AC1∥面EB1C,∴G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,(6分)
则ED1=2
,EG=
. (7分)
∴S△B1EC=
,点E到平面B1CC1距离为
.
又∵VC1-B1EC=VE-C1B1C,
∴
h=4
.∴h=
.(10分)
设ED1与面EB1C所成角为α,则sinα=
=
.
所以ED1与面EB1C所成角为arcsin
. (12分)
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,如图建立坐标系┉(1分)
因为∠BAD=60°,AD=2,所以AH=1,DH=
,
所以E(
,1,0)D1(0,0,4),C(0,4,0),B1(
,3,4),A(
,-1,0)C1(0,4,4)(3分)
(Ⅰ)
=(-
.-1,4),
=(0,2,4),
=(-
,3,0),AC1=(-
,5,4)(4分)
设面EB1C的法向量为
=(x,y,z),所以
•
=0,
•
=0
化简得
令y=1,则
=(
,1,-
).(6分)
∵A
•
=0,AC1?面EB1C,∴AC1∥面EB1C.(8分)
(Ⅱ)设θ=<
,
>,则cosθ=
=-
.(10分)
设直线ED1与面EB1C所成角为α,则cosθ=cos(α+90°)=-sinα.
即sinα=
.(11分)
∴直线ED1与面EB1C所成的角的大小为arcsin
. (12分)
因为AE=EB,FB=FC1,所以EF∥AC1(2分
因为AC1?面EB1C,EF?面EB1C
所以AC1∥面EB1C(4分)
(Ⅱ)设AC1与ED1交于点G,连DE,
∵AC1∥面EB1C,∴G与C1到平面EB1C的距离相等,设为h,(6分)
则ED1=2
5 |
2
| ||
3 |
∴S△B1EC=
51 |
3 |
又∵VC1-B1EC=VE-C1B1C,
∴
51 |
3 |
4 | ||
|
设ED1与面EB1C所成角为α,则sinα=
h |
GE |
6
| ||
85 |
所以ED1与面EB1C所成角为arcsin
6
| ||
85 |
解法二:
作DH⊥AB,分别令DH,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,如图建立坐标系┉(1分)
因为∠BAD=60°,AD=2,所以AH=1,DH=
3 |
所以E(
3 |
3 |
3 |
(Ⅰ)
ED1 |
3 |
EB1 |
EC |
3 |
3 |
设面EB1C的法向量为
n |
n |
EB1 |
n |
EC |
化简得
|
n |
3 |
1 |
2 |
∵A
C1 |
n |
(Ⅱ)设θ=<
n |
ED1 |
| ||||
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|
6
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85 |
设直线ED1与面EB1C所成角为α,则cosθ=cos(α+90°)=-sinα.
即sinα=
6
| ||
85 |
∴直线ED1与面EB1C所成的角的大小为arcsin
6
| ||
85 |
点评:本题考查线面平行,考查线面角,两法并举,传统方法需要添加必要的辅助线,向量方法,用代数方法解决几何问题,注意细细体会.
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