题目内容
(2012•桂林一模)已知y=f(x)是其定义域上的单调递增函数,它的反函数是y=f-1(x),且y=f(x+1)的图象过A(-4,0),B(2,3)两点,若|f-1(x+1)|≤3,则x的取值范围是( )
分析:通过函数过A(-4,0),B(2,3)两点,推出f(-3)=0.f(3)=3.利用y=f-1(x)的值域即为y=f(x)的定义域.通过|f-1(x+1)|≤3,推出x的取值范围为:0≤x+1≤3,求出x的范围.
解答:解:因为y=f(x+1)过A(-4,0),B(2,3)两点,
所以:f(-3)=0.f(3)=3.
而y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
则可知:y=f-1(x)的值域即为y=f(x)的定义域.
故若|f-1(x+1)|≤3,则可知:y=f-1(x+1)的值域为:[-3,3].
则y=f(x)的定义域即为:[-3,3].
而y=f(x+1)在x=-4时,有:f(-3)=0;
x=2时,有f(3)=3.即y=f(x+1)的值域为:[0,3].
则当|f-1(x+1)|≤3时,x的取值范围为:0≤x+1≤3,
即:-1≤x≤2.
故选D.
所以:f(-3)=0.f(3)=3.
而y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
则可知:y=f-1(x)的值域即为y=f(x)的定义域.
故若|f-1(x+1)|≤3,则可知:y=f-1(x+1)的值域为:[-3,3].
则y=f(x)的定义域即为:[-3,3].
而y=f(x+1)在x=-4时,有:f(-3)=0;
x=2时,有f(3)=3.即y=f(x+1)的值域为:[0,3].
则当|f-1(x+1)|≤3时,x的取值范围为:0≤x+1≤3,
即:-1≤x≤2.
故选D.
点评:本题考查函数与反函数的关系,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力.
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