Question

（文）（1）设复数z满足z•

.

z

=9，且（1+2i）z为纯虚数，求复数z；
（2）设复数z₁，z₂满足|z₁|=|z₂|=1，且|z1+z2|=

2

，求|z₁-z₂|．

Answer 1

分析：（1）利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出；
（2）利用复数模的计算公式和复数的运算性质即可得出．

解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z•

.

z

=a2+b2=9．
∵（1+2i）z=a-2b+（2a+b）i为纯虚数，∴a-2b=0，2a+b≠0．
联立

a2+b2=9 a-2b=0 2a+b≠0

．
解得

a= 6 5 5 b= 3 5 5

或

a=- 6 5 5 b=- 3 5 5

．
∴z=

6 5

5

+

3 5

5

i或z=-

6 5

5

-

3 5

5

i．
（2）∵|z1+z2|=

2

，
∴|z1+z2|2=(z1+z2)•

.

(z1+z2)

=2，
∴2+z1

.

z2

+

.

z1

z2=2．得z1

.

z2

+

.

z1

z2=0．
∴|z1-z2|2=2-(z1

.

z2

+

.

z1

z2)=2．
又|z₁-z₂|＞0，故|z1-z2|=

2

．

点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式设解题的关键．