Question

20．若椭圆$\frac{{{x}^{\;}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点在x轴上，过点（$\sqrt{3}$，1）作圆x²+y²=$\sqrt{3}$的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得以PQ为直径的圆经过点M．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设过点（$\sqrt{3}$，1）的圆x²+y²=$\sqrt{3}$的切线为l：y-1=k（x-$\sqrt{3}$），即kx-y-$\sqrt{3}k+1$=0，由已知条件求出A（$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），直线AB的方程为：y=-$\sqrt{3}x+3$，从而得到椭圆$\frac{{{x}^{\;}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为（$\sqrt{3}$，0），上项点为（0，3），由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-36=0，由动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），得P（-$\frac{12k}{m}$，$\frac{9}{m}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），由此能推导出不存在一个定点M（t，0），使得以PQ为直径的圆经过点M．

解答 解：（1）设过点（$\sqrt{3}$，1）的圆x²+y²=$\sqrt{3}$的切线为l：y-1=k（x-$\sqrt{3}$），即kx-y-$\sqrt{3}k+1$=0，
当直线l⊥x轴时，k不存在，直线方程为x=$\sqrt{3}$，恰好与圆x²+y²=$\sqrt{3}$切于点A（$\sqrt{3}$，0），
当直线l与x轴不垂直时，圆心（0，0）到直线l的距离：
d=$\frac{|-\sqrt{3}k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+2，直线l与圆切于点B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴k_AB=$\frac{\frac{3}{2}-0}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，直线AB的方程为：y=-$\sqrt{3}x+3$，
∴直线AB与x轴交于点A（$\sqrt{3}$，0），与y轴交于C（0，3），
∴椭圆$\frac{{{x}^{\;}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为（$\sqrt{3}$，0），上项点为（0，3），
∴c=$\sqrt{3}$，b=3，∴a²=3+9=12，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-36=0，
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-36）=0，
∴12k²-m²+9=0，①
此时x₀=-$\frac{-4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{12k}{m}$，y₀=$\frac{9}{m}$，
即P（-$\frac{12k}{m}$，$\frac{9}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），
取k=0，m=3，此时P（0，3），Q（4，3），
以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-3）²=4，它和x轴无交点，
故不存在一个定点M（t，0），使得以PQ为直径的圆经过点M．

点评 本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查是否存在一个定点M（t，0），使得以PQ为直径的圆经过点M的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．