题目内容

试确定m的取值范围，使得椭圆 $数学公式$ 上有不同两点关于直线y=4x+m对称．

解：设交点是A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）中点坐标是（x_中，y_中）AB直线方程设为y=- $\text{[math]}$ x+b
$\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
y₁=- $\text{[math]}$ x₁+b③
y₂=- $\text{[math]}$ x₂+b④
①-②，得
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0
③-④，得
y₁-y₂=- $\text{[math]}$ （x₁-x₂）把y₁-y₂整体代入上式，提取公因式（x₁-x₂）得
（x₁-x2）（ $\text{[math]}$ ）=0
由于x₁不等于x₂，所以，
$\text{[math]}$ =0
又 y_中=4x_中+m
解得 x_中=-m y_中=-3m
∵ $\text{[math]}$
∴m²＜ $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$

分析：设交点是A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）中点坐标是（x_中，y_中）AB直线方程设为y=- $\text{[math]}$ x+b，把A，B点坐标分别代入椭圆方程和直线方程，分别相减联立后求得 $\text{[math]}$ =0，解得 x_中和y_中，进而根据 $\text{[math]}$ 求得m的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的思路是利用两个对称点的中点在椭圆的内部，进而求得m的范围．

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已知函数f（x）=

，且a＜1．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）设函数g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并比较

与4的大小．

已知函数f（x）=x+

+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+

＞0恒成立，求实数a的取值范围．

经过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点．
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（2）若直线l的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为

，试确定m的取值范围．

（2008•成都三模）设奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在P（1，f（1））处的切线的斜率为-6．且x=2时，f（x）取得极值．
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（2）设函数f（x）的导函数为f'（x），函数g（x）的导函数g′(x)=-

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（3）在（2）的条件下，当x∈[m+1，m+2]时，|g'（x）|≤m恒成立，试确定m的取值范围．

已知函数y=f（x）满足方程f（x）+（x-3）f（1）=x³+x-4（x∈R）．
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]，试确定m的取值范围；
（III）记g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2，若g'（x）的两个零点x₁，x₂满足x₁≠x₂，且x₁，x₂∈[-1，2]，求b+2c的取值范围．