Question

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；
（2）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

月份	用水量（立方米）	水费（元）
一	4	17
二	5	23
三	2.5	11

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．

Answer 1

分析：（1）根据水费=基本费+超额费+定额损耗费，把几项费用加到一起列出关于x的等式即得到．
（2）由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．故可由（1）列出方程式求出x，y．再求出m，n，同理可以求出3月份的．即得到答案．

解答：（1）解：依题意，得y=

9+a，0＜x≤m(*) 9+n(x-m)+a，x＞m(**)

其中0＜a≤5．
（2）解：∵0＜a≤5，
∴9＜9+a≤14．
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于
最低限量m立方米．
将

x=4 y=17

和

x=5 y=23

分别代入（**），
得

17=9+n(4-m)+a 23=9+n(5-m)+a

两式相减，得n=6．
代入17=9+n（4-m）+a，得a=6m-16．
又三月份用水量为2.5立方米，
若m＜2.5，将

x=2.5 y=11

代入（**），得a=6m-13，
这与a=6m-16矛盾．（10分）
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量．
将

x=2.5 y=11

代入（*），得11=9+a，
由

a=6m-16 11=9+a

解得

a=2 m=3

故该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且m=3，n=6，a=2．

点评：本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识，考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识．