题目内容
(12分)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程。
解法一 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题设知对称圆的圆心C′(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d==1。整理得 12k2+25k+12=0,解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3),或y-3= -(x+3),即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,设交线L所在的直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是(-,0),因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L′所在直线的方程为y= -k(x+),即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为1,即d==1。以下同解法一。
解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,设交线L所在的直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是(-,0),因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L′所在直线的方程为y= -k(x+),即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为1,即d==1。以下同解法一。
略
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