题目内容
3.抛物线y=x2与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t(0<t<1)处的切线所围成的图形面积的最小值为( )A. | $\frac{1}{12}$ | B. | $\frac{1}{10}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
分析 求出函数的导数,利用导数的几何意义求出切线方程,然后根据积分的几何意义求积分,利用积分函数即可S的最小值.
解答 解:∵y=f(x)=x2,
∴f'(x)=2x,
即切线l在P处的斜率k=f'(t)=2t,
∴切线方程为y-t2=2t(x-t)=2tx-2t2,
即y-t2=2t(x-t)=2tx-2t2,
y=2tx-t2,
作出对应的图象,
则曲线围成的面积S=${∫}_{0}^{1}({x}^{2}-2tx+{t}^{2})dx$=$(\frac{1}{3}{x}^{3}-t{x}^{2}+{t}^{2}x){|}_{0}^{1}$
=${t}^{2}-t+\frac{1}{3}$=$(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{12}$,
∵0<t<1,
∴当t=$\frac{1}{2}$时,面积取的最小值为$\frac{1}{12}$.
故选:A.
点评 本题主要考查积分的应用,利用导数的几何意义求出切线方程,然后根据积分公式即可得到面积的最小值,考查学生的计算能力.
练习册系列答案
相关题目
14.函数f(x)=$\sqrt{x+1}$+(x-2)0+x${\;}^{-\frac{3}{4}}$的定义域是( )
A. | {x|x≥0} | B. | {x|x>0且x≠2} | C. | {x|x>-1且x≠0} | D. | {x|x>0} |
18.若关于x,y的方程x2+y2+mxy+2x-y+n=0 表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是( )
A. | (-∞,$\frac{5}{4}$) | B. | (-∞,$\frac{5}{4}$] | C. | ($\frac{5}{4}$,+∞) | D. | [$\frac{5}{4}$,+∞) |
8.若奇函数在区间[3,7]上递增且最小值为5,则f(x)在[-7,-3]上为( )
A. | 递增且最小值为-5 | B. | 递增且最大值为-5 | ||
C. | 递减且最小值为-5 | D. | 递减且最大值为-5 |
12.下列各组函数中,表示相同的函数的是( )
A. | f(x)=x与g(x)=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | B. | f(x)=|x|与g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$ | ||
C. | f(x)=x0与g(x)=1 | D. | f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-1}$与g(x)=$\sqrt{x-1}$$\sqrt{x+1}$ |