题目内容

已知函数f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1

(1)求f(x)的最小正周期及振幅;
(2)试判断f(
π
6
-x)
f(
π
6
+x)
的大小关系,并说明理由.
(3)若x∈[-
π
6
π
3
]
,求f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)由y=Asin(ωx+φ)型函数中参数的几何意义及周期计算公式,即可得f(x)的最小正周期及振幅;(2)可以利用诱导公式分别化简两个函数式来进行证明,也可先证明x=
π
6
是函数的一条对称轴,从而证明两式相等;(3)先求内层函数的值域,再利用正弦函数的图象求函数f(x)在[-
π
6
π
3
]
上的最大值和最小值
解答:解:(1)f(x)的最小正周期为T=
2
,振幅A=2
(2)f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法一:因为f(
π
6
+x)
=2sin(
π
3
+2x+
π
6
)+1=2sin(2x+
π
2
)+1=2cos2x+1

f(
π
6
-x)
=2sin(
π
3
-2x+
π
6
)+1=2sin(
π
2
-2x)+1=2cos2x+1

所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

法二:因为f(
π
6
)=2sin(
π
3
+
π
6
)+1=2sin
π
2
+1=3
为函数的最大值,
所以x=
π
6
是函数的一条对称轴,所以f(
π
6
+x)
=f(
π
6
-x)

(2)∵x∈[-
π
6
π
3
]

-
π
6
≤2x+
π
6
6

-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

-1≤2sin(2x+
π
6
)≤2

∴0≤f(x)≤3
∴f(x)的最小值为0; f(x)的最大值为3.
点评:本题考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,函数的对称性和函数值域的求法,正弦函数的图象和性质及诱导公式的应用
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