题目内容
已知函数f(x)=2sin(2x+
)+1.
(1)求f(x)的最小正周期及振幅;
(2)试判断f(
-x)与f(
+x)的大小关系,并说明理由.
(3)若x∈[-
,
],求f(x)的最大值和最小值.
π |
6 |
(1)求f(x)的最小正周期及振幅;
(2)试判断f(
π |
6 |
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6 |
(3)若x∈[-
π |
6 |
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3 |
分析:(1)由y=Asin(ωx+φ)型函数中参数的几何意义及周期计算公式,即可得f(x)的最小正周期及振幅;(2)可以利用诱导公式分别化简两个函数式来进行证明,也可先证明x=
是函数的一条对称轴,从而证明两式相等;(3)先求内层函数的值域,再利用正弦函数的图象求函数f(x)在[-
,
]上的最大值和最小值
π |
6 |
π |
6 |
π |
3 |
解答:解:(1)f(x)的最小正周期为T=
=π,振幅A=2
(2)f(
+x)=f(
-x)
法一:因为f(
+x)=2sin(
+2x+
)+1=2sin(2x+
)+1=2cos2x+1
f(
-x)=2sin(
-2x+
)+1=2sin(
-2x)+1=2cos2x+1
所以f(
+x)=f(
-x)
法二:因为f(
)=2sin(
+
)+1=2sin
+1=3为函数的最大值,
所以x=
是函数的一条对称轴,所以f(
+x)=f(
-x).
(2)∵x∈[-
,
]
∴-
≤2x+
≤
∴-
≤sin(2x+
)≤1
∴-1≤2sin(2x+
)≤2,
∴0≤f(x)≤3
∴f(x)的最小值为0; f(x)的最大值为3.
2π |
2 |
(2)f(
π |
6 |
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6 |
法一:因为f(
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6 |
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3 |
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6 |
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2 |
f(
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6 |
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3 |
π |
6 |
π |
2 |
所以f(
π |
6 |
π |
6 |
法二:因为f(
π |
6 |
π |
3 |
π |
6 |
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2 |
所以x=
π |
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π |
6 |
π |
6 |
(2)∵x∈[-
π |
6 |
π |
3 |
∴-
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
∴-
1 |
2 |
π |
6 |
∴-1≤2sin(2x+
π |
6 |
∴0≤f(x)≤3
∴f(x)的最小值为0; f(x)的最大值为3.
点评:本题考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,函数的对称性和函数值域的求法,正弦函数的图象和性质及诱导公式的应用
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