Question

在直角标系xOy中，点（2，-2）在矩阵M=（

0 1 α 0

）对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'，求曲线C'的方程．

Answer 1

分析：先根据变换的对应点，列式解出α=2，得M=（

0 1 2 0

）．再设曲线C上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答：解：根据题意，得（

0 1 α 0

）（

2   -2

）=（

-2   4

）
∴2α=4，可得α=2，即M=（

0 1 2 0

）
设P（x₀，y₀）是曲线C：x²+y²=1上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有（

x   y

）=（

0 1 2 0

）（

x0   y0

），即

x=y0 y=2x0

，所以

x0= 1 2 y y0=x

又∵点P在曲线C：x²+y²=1上，
∴

y2

4

+x²=1，即曲线C'的方程为椭圆x²+

y2

4

=1．

点评：本题给出矩阵变换，求曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的曲线C'方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．利用求轨迹方程的方法进行求解，是解决本题的一般方法．