题目内容
【题目】某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且
,如图所示.
(Ⅰ)设,试将
的周长l表示成
的函数关系式,并求出此函数的定义域;
(Ⅱ)经核算,三条路每米铺设费用均为400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据三角函数定义及勾股定理,即可表示出EF长度,进而用α表示出周长。根据点E、F的极限位置,判断出角的大小范围得到定义域。
(Ⅱ)利用三角函数换元,将周长转化为关于t的函数,结合角α的范围求得t的范围,进而得到l的范围,即为费用最低时的长度。
(Ⅰ)∵在中,
,∴
在中,
,∴
又,
∴即
.
当点F在点D时,这时角最小,求得此时
;
点E在C点时,这时角最大,求得此时
.故此函数的定义域为
(Ⅱ)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求的周长l最小值即可.
由(Ⅰ)得,,
设,则
,∴
由,得
,∴
,
从而,当
,即BE=25时,
所以当 米时,铺路总费用最低,最低总费用为
元
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