题目内容
【题目】已知函数,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1),定义域为,,依题意,解得;(2)对任意的都有成立等价于对任意的都有.利用导数,求得在上是增函数,最大值.而,由此,对分成,,三段,来讨论的最大值,最后求得的取值范围为.
试题解析:
(1)∵,∴,其定义域为,
∴,∵是函数的极值点,∴,即,
∵,∴.经检验当时,是函数的极值点,∴.
(2)对任意的都有成立等价于
对任意的都有,
当时,,∴函数在上是增函数,
∴.
∵,且,.
①当且时,,
∴函数在上是增函数,∴,
由,得,又,∴不合题意.
②当时,若,则,若时,,
∴函数在上是减函数,在上是增函数,
∴,由,得,又,∴.
③当且时,,
∴函数在上是减函数,∴,
由,得,又,∴,
综上所述,的取值范围为.
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