题目内容

已知
m
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
n
=（cosωx-sinωx，
3
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
m
•
n
且f(
π
3
-x)=f(x)，f（x）在（0，
π
3
）内有最大值无最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=1，其面积S△ABC=
3
，求△ABC周长的最小值．
分析：（1）化简f（x）=
m
•
n
 的解析式为2sin（2ωx+
π
6
），根据 f(
π
3
-x)=f(x)，求出ω=1，可得周期T的值．
（2）根据f（A）=1，求得A=
π
3
，再由S△ABC=
1
2
bc•sinA=
3
，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周长的最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=
m
•
n
=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx•
3
cosωx=cos2ωx+
3
 sin2ωx=2sin（2ωx+
π
6
）．
∵f(
π
3
-x)=f(x)，∴2ω•
π
6
+
π
6
=2kπ+
π
2
，从而ω=6k+1，k∈z．
又
π
3
-
π
6
≤
π
2ω
，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T=
2π
ω
=π．
（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+
π
6
）=1，∴A=
π
3
，S△ABC=
1
2
bc•sinA=
3
，∴bc=4，
∴△ABC周长为 b+c+a=b+c+
b2+c2 -2bc•cosA
≥2
bc
+
2bc -2bc•cosA
=6，当且仅当b=c时等号成立．
故△ABC周长的最小值为6．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理和基本不等式的应用，三角函数的周期性以及求法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx），
n
=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=
m
•
n
，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于
π
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函数f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
（2013•黄埔区一模）已知函数y=sin(ωx+
π
3
)(ω＞0)的最小正周期为π，若将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为
π
3
π
3
．

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