题目内容

已知向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 不共线，若 $数学公式$ ，且A、B、C三点共线，则关于实数λ₁、λ₂一定成立的关系式为

A.
λ₁=λ₂=1
B.
λ₁=λ₂=-1
C.
λ₁λ₂=1
D.
λ₁+λ₂=1

C
分析：先求A、B、C三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量 $\text{[math]}$ ，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A、B、C三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．
解答：由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有公共点A，
∴若A、B、C三点共线
则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线
即存在一个实数t，使 $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
消去参数t得：λ₁λ₂=1；
反之，当λ₁λ₂=1时
$\text{[math]}$
此时存在实数 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线
又由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有公共点A，
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ₁λ₂=1．
故选C．
点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．