题目内容
对于任意实数a,要使函数
在区间[a,a+3]上的值
出现的次数不小于4次,又不多于8次,则k可以取
- A.1和2
- B.2和3
- C.3和4
- D.2
B
分析:根据函数一个周期有且只有2个不同的自变量使其函数值为
,故
出现的次数不小于4次,又不多于8次,得到该函数在此区间上至少2个周期,至多4个周期,由区间的长度为3,列出关于周期T的不等式组,再找出ω的值,代入周期公式求出函数的周期T,将求出的T代入不等式组得到关于k的不等式组,求出不等式组的解集中的正整数解即可得到k的值.
解答:函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为
,
因此该函数在区间[a,a+3](该区间的长度为3)上至少有2个周期,至多有4个周期,
因此 3>2T,且3<4T,即
,
又∵ω=
,∴T=
,
∴
,
解得
,又k∈N,
则k=2或3.
故选B
点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,考查了转化的数学思想.根据题意得出该函数在区间[a,a+3](该区间的长度为3)上至少有2个周期,至多有4个周期是本题的突破点,将所求的k的值进行转化与化归,列出关于k的不等式是解决本题的关键,充分利用函数的周期性和区间长度的关系,注意不等式思想的运用.
分析:根据函数一个周期有且只有2个不同的自变量使其函数值为


解答:函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为

因此该函数在区间[a,a+3](该区间的长度为3)上至少有2个周期,至多有4个周期,
因此 3>2T,且3<4T,即

又∵ω=


∴

解得

则k=2或3.
故选B
点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,考查了转化的数学思想.根据题意得出该函数在区间[a,a+3](该区间的长度为3)上至少有2个周期,至多有4个周期是本题的突破点,将所求的k的值进行转化与化归,列出关于k的不等式是解决本题的关键,充分利用函数的周期性和区间长度的关系,注意不等式思想的运用.

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