题目内容
（文科试题）已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有______个．
分3种情况加以讨论
①根据题意，显然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O，
②当∠PFO=90°时，即直角顶点在焦点F时，过点F作直线与x轴垂直，交于抛物线y2=2px于P点，这样满足条件的P点有两个；
③接下来证明∠OPF不可能是直角：
抛物线的焦点坐标为F（
，0），设抛物线上的点P坐标为（
，y），可得
=（
，y），
=（
-
，y）
∴
•
=
（
-
）+y2=
+
∵
＞0且
＞0
∴
•
=
•
cos∠OPF＞0，
∴cos∠OPF＞0，结合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是锐角．
综上所述，得满足条件的点P只有两个．
故答案为：2
①根据题意，显然∠POF不可能是直角，所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O，
②当∠PFO=90°时，即直角顶点在焦点F时，过点F作直线与x轴垂直，交于抛物线y2=2px于P点，这样满足条件的P点有两个；
③接下来证明∠OPF不可能是直角：
抛物线的焦点坐标为F（
| p |
| 2 |
| y2 |
| 2p |
| OP |
| y2 |
| 2p |
| FP |
| y2 |
| 2p |
| p |
| 2 |
∴
| OP |
| FP |
| y2 |
| 2p |
| y2 |
| 2p |
| p |
| 2 |
| y4 |
| 4p2 |
| 3y2 |
| 4 |
∵
| y4 |
| 4p2 |
| 3y2 |
| 4 |
∴
| OP |
| FP |
| |OP| |
| |FP| |
∴cos∠OPF＞0，结合∠OPF∈（0，π），可得∠OPF是锐角．
综上所述，得满足条件的点P只有两个．
故答案为：2
练习册系列答案
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