题目内容
设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）•g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=| 7 | 8 |
（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（I）求出g（an-1），f（an-1）将它们代入已知等式得到关于an的等式，判断出各项都不是1，将其变形得到
8（an+1-1）=7（an-1），利用等差数列的定义得到证明．
（II）作出数列{bn}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到bn取最大值时n的值．
（III）由于数列{bn}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
8（an+1-1）=7（an-1），利用等差数列的定义得到证明．
（II）作出数列{bn}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到bn取最大值时n的值．
（III）由于数列{bn}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）•8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（1），得an-1=(
)n-1．
∴bn=(n+1)•(
)n．
则bn+1=(n+2)•(
)n+1．
∵
=
•
，设
≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．
（Ⅲ）Sn=2•
+3•(
)2+4•(
)3+…+n•(
)n-1+(n+1)•(
)n
•Sn=2•(
)2+3•(
)3+4•(
)4+…+n•(
)n+(n+1)•(
)n+1
相减得：
•Sn=2•
+(
)2+(
)3+…+(
)n-(n+1)•(
)n+1=
+
×8×[1-(
)n]-(n+1)•(
)n+1
=
-(n+9)•(
)n+1
∴Sn=63-8(n+9)•(
)n+1．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
| 7 |
| 8 |
（Ⅱ）由（1），得an-1=(
| 7 |
| 8 |
∴bn=(n+1)•(
| 7 |
| 8 |
则bn+1=(n+2)•(
| 7 |
| 8 |
∵
| bn+1 |
| bn |
| n+2 |
| n+1 |
| 7 |
| 8 |
| bn+1 |
| bn |
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．
（Ⅲ）Sn=2•
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
相减得：
| 1 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
=
| 63 |
| 8 |
| 7 |
| 8 |
∴Sn=63-8(n+9)•(
| 7 |
| 8 |
点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组法．
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