题目内容

设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）•g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=
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(n+1)(an-1)．（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）•8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．                
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．                          
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
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8
为公比的等比数列．  
（Ⅱ）由（1），得an-1=(
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)n-1．
∴bn=(n+1)•(
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)n．                 
则bn+1=(n+2)•(
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8
)n+1．
∵
bn+1
bn
=
n+2
n+1
•
7
8
，设
bn+1
bn
≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．                        
（Ⅲ）Sn=2•
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+3•(
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8
)2+4•(
7
8
)3+…+n•(
7
8
)n-1+(n+1)•(
7
8
)n
7
8
•Sn=2•(
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)2+3•(
7
8
)3+4•(
7
8
)4+…+n•(
7
8
)n+(n+1)•(
7
8
)n+1
相减得：
1
8
•Sn=2•
7
8
+(
7
8
)2+(
7
8
)3+…+(
7
8
)n-(n+1)•(
7
8
)n+1=
7
8
+
7
8
×8×[1-(
7
8
)n]-(n+1)•(
7
8
)n+1
=
63
8
-(n+9)•(
7
8
)n+1
∴Sn=63-8(n+9)•(
7
8
)n+1．
练习册系列答案
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8、设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（　　）
设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）•g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=
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（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．

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（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．

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