题目内容

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，且受地理条件限制，|AN|长不超过8米，设AN=x．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若|AN|∈[3，4）（单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

解：（1）设AN的长为x米（2＜x≤8）
∵ $\text{[math]}$ ，∴AM= $\text{[math]}$
∴S_AMPN=AN•AM= $\text{[math]}$
由S_AMPN＞32得 $\text{[math]}$ ＞32
∵x＞2，∴3x²-32x+64＞0
∴2＜x＜ $\text{[math]}$ 或x＞8
∵2＜x≤8
∴2＜x＜ $\text{[math]}$ ，即AN的长的取值范围为（2， $\text{[math]}$ ）；
（2）令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∵x∈[3，4），∴y′＜0，∴函数 $\text{[math]}$ 在[3，4）上为单调递减函数
∴当x=3时， $\text{[math]}$ 取得最大值，即矩形花坛AMPN的面积最大为27m²，此时AN=3m，AM=9m．
分析：（1）求出矩形的长与宽，求得矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得AN的取值范围；
（2）求导数，确定函数 $\text{[math]}$ 在[3，4）上为单调递减函数，即可求得面积的最大值．
点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，考查利用导数求最值，解题的关键是确定矩形的面积．