题目内容

已知圆问在圆C上是否存在两点A,B关于直线对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程，若不存在，说明理由.

 

【答案】

存在满足条件的直线

【解析】

试题分析：本题考查直线与圆的位置关系，对称性问题，属探索性题型.由  A,B关于直线对称，求出直线的斜率，假设直线的方程联立方程组，在根据AB为直径的圆经过原点到到，即，解方程可求的解结论.

试题解析：存在满足2条条件的直线.

圆，，设，，

直线过，而点在圆的内部，故直线与圆恒相交，

又直线垂直平分，直线经过圆心，，即，

，设直线的方程为，联立方程组消去得

，，，

，

即，由，则

即，解得或.

直线的方程为或.

故存在2条满足条件的直线.

考点：直线与圆的位置关系.对称性问题.

 

练习册系列答案
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已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线l1：x=-
a2
c
、点F（-c，0）、曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断
 
 （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
已知点P是圆O：x2+y2=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设，问在x轴上是否存在定点E，使得？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．
已知点P是圆O：x2+y2=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设，问在x轴上是否存在定点E，使得？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．
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（1）求曲线C的方程；
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