Question

已知不等式(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．

Answer 1

分析：首先分析题目已知不等式(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9对任意x、y的正实数恒成立．故对不等式左边展开后，利用基本不等式得恒成立的满足条件a+1+2

a

≥9，然后解不等式，可求a值．

解答：解：因为(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+

ax

y

+

y

x

+a≥a+1+2

a

(a＞0)，
要使原不等式恒成立，则只需a+1+2

a

≥9，
即(

a

-2)(

a

+4)≥0，故

a

≥2，即a≥4
所以正数a的最小值是4．

点评：此题主要考查基本不等式的应用，在利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可．