题目内容

已知函数f(x)=x2,g(x)=|x-2|.

(1)解不等式f(x)>g(x);

(2)设函数f(x)的图象为C1,g(x)的图象为C2,l是和曲线C1相切且与曲线C2无公共点的直线,求直线l的斜率的取值范围.

解法一:(1)∵f(x)=x2,g(x)=|x-2|,在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,

?

解方程组A(-2,4),B(1,1),                                                            ?

∴不等式f(x)>g(x)的解集为函数f(x)的图象C1位于函数g(x)的图象C2的上方时,自变量x的取值范围,即为{x|x<-2或x>1}.?

综上可得,原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.                                                 

?

(2)如图所示,设直线l为曲线C1的切线,切点为C.当切线l的斜率为-1时,切线l与曲线C2

无公共点,                                                                                                               ?

此时,若让切线l按逆时针方向沿曲线C1运动至坐标原点O时,切线l与曲线C2恰有一个公共点D,由此可得,当切线l的斜率k∈[-1,0)时,直线为l与曲线C2无公共点.    ?

解法二:(1)∵f(x)=x2,g(x)=|x-2|,f(x)≥g(x),x2>|x-2|,??

x≤2时,得x2>2-x,解得x<-2或1<x≤2;                                                               ?

x>2时,得x2x-2,解得x>2.                                                                              ?

综上可得,原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.                                                  ?

(2)∵f′(x)=2x,直线l与曲线C1相切时的切点为M(x0,x02),则直线l的方程为y-x02=2x0

(x-x0),即y=2x0x-x02,又直线l与曲线C2无公共点,则需满足方程组无解,

即方程2x0x-x02=|x-2|无解.                                                                                 ?

x≥2时,方程2x0x-x02=|x-2|可化为2x0x-x02=x-2,即(2x0-1)x=x02-2,               ①?

x0=,方程①无解;?

x0,则方程①无解需满足不等式<2,由此解得x0<0或x0<4.?

∴方程①无解的条件是x0<0或x0<4.?

x<2时,方程2x0x-x02=|x-2|可化为2x0x-x02=2-x,即(2x0+1)x=x02+2,            ②?

x0=-,方程②无解;?

x0≠-,则方程②无解需满足不等式≥2,由此解得-x0≤0或x0≥4.?

∴方程②无解的条件是-x0≤0或x0≥4.?

综上可得,方程2x0x-x02=|x-2|无解的条件是-x0<0.?

f′(x0)=2x0的取值范围是[-1,0),即直线l的斜率的取值范围是[-1,0).

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