Question

已知函数f(x)=lnx+

m

x

(x＞0)在（1，+∞）上为增函数，函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减函数．
（1）分别求出函数f（x）和g（x）的导函数；
（2）求实数m的值；
（3）求证：当x＞0时，xln(1+

1

x

)＜1＜(x+1)ln(1+

1

x

)．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出f（x），g（x）的导函数；
（2）根据函数的单调性，令f'（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

≥0恒成立及g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

≤0恒成立，求出m的值．
（3）因为当x＞0时，1+

1

x

＞1，利用（1）中f（x），g（x）的单调性得到当x＞0时，xln（1+

1

x

）＜1＜（x+1）ln（1+

1

x

）

解答：解：（1）f'（x）=

1

x

-

m

x2

…（2分）
g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

…（4分）
（2）因为函数f(x)=lnx+

m

x

(x＞0)在（1，+∞）上为增函数，
所以当x＞1时，f'（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

≥0恒成立，得m≤1．
因为函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减函数．
所以当x＞1时，g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

≤0恒成立，得m≥1．
从而m=1．…（6分）
（3）当x＞0时，1+

1

x

＞1，
所以由（1）知：f（1+

1

x

）＞f（1），即：ln（1+

1

x

）+

x

x+1

＞1，
化简得：（1+x）ln（1+

1

x

）＞1
g（1+

1

x

）＜g（1），即：ln（1+

1

x

）-（1+

1

x

）＜-1，
化简得：xln（1+

1

x

）＜1．
所以当x＞0时，xln（1+

1

x

）＜1＜（x+1）ln（1+

1

x

）．…（8分）

点评：本题考查导函数与函数单调性的关系，当已知函数递增时，令导函数大于等于0；当函数递减时，令导函数小于等于0，求出参数的范围．