题目内容
如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆
相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线
的焦点．
(Ⅰ)试求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．
答案：
解析：
解析：
解析：(Ⅰ)椭圆
的离心率为
1分
抛物线
的焦点为
． 2分
设椭圆
的方程为
，
由题意，得： 
，解得
，
∴椭圆
的标准方程为 
． 5分
(Ⅱ)解法一：椭圆与椭圆
是相似椭圆． 6分
联立椭圆
和直线
的方程，
，消去
，
得
， 7分
设
的横坐标分别为
，则
． 8分
设椭圆
的方程为
， 9分
联立方程组
，消去
，得
，
设
的横坐标分别为
，则
． 10分
∵弦
的中点与弦
的中点重合， 11分
∴
，
，
∵
，∴化简得
， 11分
求得椭圆的离心率
， 12分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆．
解法二：设椭圆的方程为，
并设
．
∵
在椭圆上，
∴
且
，两式相减变恒等变形得
． 7分
由在椭圆上，仿前述方法可得
． 10分
∵弦的中点与弦的中点重合，
∴， 12分
求得椭圆的离心率， 10分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆．
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