题目内容

已知x＞0，y＞0，求证：．

答案：
解析：

　　探究：本题若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系，因而可试用分析法．

　　证明：要证明

　　只需证：(x²＋y²)³＞(x³＋y³)²，

　　即证：x³＋3x⁴y²＋3x²y⁴＋y⁶＞x⁶＋2x³y³＋y⁶，

　　即证：3x⁴y²＋3x²y⁴＞2x³y³．

　　∵x＞0，y＞0，∴x²y²＞0，

　　即证：3x²＋3y²＞2xy，

　　∵3x²＋3y²＞x²＋y²≥2xy，

　　∴3x²＋3y²＞2xy成立，

　　规律总结：用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”)

　　分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C₁、C₂等，再寻求C、C₁、C₂的论据，如B、B₁、B₂、B₃、B₄等等，继而寻求B、B₁、B₂、B₃、B₄的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题已经得证．

　　用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的．而在分析法中，就应当用假定的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就需先有B成立；如要有B成立，又只需有C成立……这样从结论一直推到已知条件．当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了．

　　用分析法证题，是寻求不等式成立的充分条件而不是必要条件，分析过程没有必要“步步可逆”．