Question

已知正项数列{a_n}满足a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N⁺），a₁=1．
（Ⅰ）求证数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2n-1

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对等式两边同除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=1，根据等差数列的定义可得结论，然后利用等差数列的通项公式可求得

1

an

，进而可得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N^*），得

1

an

-

1

an-1

=1，
∴数列{

1

an

}是公差为1的等差数列，

1

an

=

1

a1

+n-1=n，得a_n=

1

n

；
（Ⅱ）b_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
则2•T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项及数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．