Question

已知函数f（x）=xlnx-x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=lnx+1-1=lnx，可得f′（1）=0，即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线的方程；
（2）由（1）可得f′（x）=lnx，令f′（x）=lnx=0，解得x=1；分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可判断出单调性，极值．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+1-1=lnx，
∴f′（1）=0，
又f（1）=-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1．
（2）由（1）可得f′（x）=lnx，
令f′（x）=lnx=0，解得x=1；
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减法．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．