Question

已知函数f(x)=mx-2+

2

-1（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线y=-x+

1

t2+1

的对称点为S（m，n），求

n

m

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据函数的解析式求出定点（a，b）的坐标，进而得到a和b的值，从而得到椭圆E的方程．
（2）利用点与其对称点的连线与对称轴垂直，以及点与其对称点的连线的中点在对称轴上，求出对称点S（m，n），
设?（t）=

n

m

，利用它的导数符号判断其单调性，由单调性求?（t）的最值，进而得到

n

m

的取值范围．

解答：解：（1）∵当x=2时，f(2)=m2-2+

2

-1=

2

，
∴函数f（x）的图象通过定点(2，

2

)．
∴a=2，b=

2

.
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵点T与点S关于直线y=-x+

1

t2+1

对称，
∴

n m-t =1 n 2 =- m+t 2 + 1 t2+1

，
解方程组得

m= 1 t2+1 n= 1 t2+1 -t

．
设?(t)=

n

m

=-t3-t+1(t∈[-2，2])，
∵?′（t）=-2t²-1＜0，
∴?（t）在区间[-2，2]上是减函数．
∵?（-2）=11，?（2）=-9，
∴

n

m

的取值范围是[-9，11]．

点评：本题考查椭圆的标准方程和椭圆的性质，求一个点关于直线的对称点的方法，以及利用导数判断函数的单调性，再由单调性求函数的值域的方法．