Question

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm³．设圆柱的底面直径为4x（cm），工艺品的表面积为S（cm²）．
（1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

Answer 1

分析：（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．设圆柱的高为h（cm）．通过试工艺品的体积，求出圆柱的高于底面半径的关系，然后写出S关于x的函数关系式；
（2）利用（1）的表达式，通过导数，求出极值点，说明高、底面半径、球的半径的数值使工艺品的表面积最小．

解答：解：（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．
设圆柱的高为h（cm）．因为工艺品的体积为34πcm³，所以

1

2

×

4

3

(3x)3+π(2x)2h=34π，
所以h=

17

2x2

-

9

2

x，所以工艺品的表面积为
S=

1

2

×4π(3x)2+2π(2x)h+π(3x)2+2×π(2x)2
=35πx2+4πx(

17

2x2

-

9

2

x)
=17π(x2+

2

x

).
由x＞0且h=

17

2x2

-

9

2

x＞0，得0＜x＜

3 51

3

.
所以S关于x的函数关系式是S=17π(x2+

2

x

)，0＜x＜

3 51

3

.
（2）由（1）知，S′=17π(2x-

2

x

)=

34π(x3-1)

x2

，0＜x＜

3 51

3

.令S'=0，得x=1．
当0＜x＜1时，S'＜0，所以S关于x∈（0，1]是单调减函数；
当1＜x＜

3 51

3

时，S'＞0，所以S关于x∈[1，

3 51

3

)是单调增函数．
所以，当x=1时，S取得最小值Smin=17π(12+

2

1

)=51π，此时h=4．
答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm²．

点评：本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，体积计算能力，能够正确求出表面积的表达式是解好本题的关键，利用导数求函数的最值是常用方法．