Question

设事件A表示“关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根”．
（1）若a、b∈{1，2，3}，求事件A发生的概率P（A）；
（2）若a、b∈[1，3]，求事件A发生的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）先求出关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根的条件，求出数对（a，b）的所有可能事件，再求出求出事件A包含的事件，根据公式计算即可；
（2）先判断为几何概型，利用面积比计算即可．

解答：解：（1）由关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根，得△≥0．
∴4a²-4b²≥0，故a²≥b²，当a＞0，b＞0时，得a≥b．
若a、b∈{1，2，3}，则总的基本事件数（即有序实数对（a，b）的个数）
为3×3=9．事件A包含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），共有6个．
∴事件A发生的概率P(A)=

6

9

=

2

3

．
（2）若a、b∈[1，3]，则总的基本事件所构成的区域Ω={（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3}，是平面直角坐标系aOb中的一个正方形
如图：
其面积SΩ=( 3-1 )2=4．      
事件A构成的区域是A={（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤3，a≥b}，
是平面直角坐标系aOb中的一个等腰直角三角形，如图
的阴影部分，
其面积SA=

1

2

×( 3-1 )2=2．
故事件A发生的概率P(A)=

SA

SΩ

=

2

4

=

1

2

．

点评：本题考查古典概型的概率计算及几何概型的概率计算．