Question

据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题．
（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.08¹⁰≈2.159）
（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b₁表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b₂表示2004年底该市堆积的垃圾数量…b_n表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b₁；②试归纳出b_n的表达式（不用证明）；③计算

lim

n→∞

b_n，并说明其实际意义．

Answer 1

分析：（1）要求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨，我们可以设1993年该城市产生的新垃圾约有X万吨，然后由1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，构造关于X的方程，解方程，即可得到结果．
（2）由2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b₁表示2003年底该市堆积的垃圾数量，我们易代入得到b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2++3×

4

5

+3，然后利用极限思想，求出

lim

n→∞

b_n的值．

解答：解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨．依题意，得
10+x+1.08x+1.08²x++1.08⁹x=50，
∴

1-1.0810

1-1.08

•x=40．
∴x=

0.08

1.0810-1

×40≈2.76万吨．
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨．
（2）①b₁=50×80%+3=43（万吨）．
②∵b₁=50×80%+3=50×

4

5

+3，
b₂=

4

5

b₁+3=50×（

4

5

）²+3×

4

5

+3，
b₃=

4

5

b₂+3=50×（

4

5

）³+3×（

4

5

）²+3×

4

5

+3，
∴可归纳出b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2++3×

4

5

+3
=50×（

4

5

）ⁿ+3×

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=50×（

4

5

）ⁿ+15[1-（

4

5

）ⁿ]=35×（

4

5

）ⁿ+15．
③

lim

n→∞

b_n=

lim

n→∞

[35×（

4

5

）ⁿ+15]=15．
这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．