Question

某厂家2008年拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量m万件（即该厂的年产量）与促销费用x万元（x≥0）满足m=3-

2

x+1

．已知2008年生产该产品m万件的成本C=16m+8万元，厂家将每件产品的销售价定为每件产品成本的1.5倍．
（Ⅰ）试将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
（利润=销售额-成本-促销费用）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“利润=销售额-成本-促销费用”得：利润函数y=（1.5-1）C-x，代入C，m整理即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润函数y的解析式，构造并应用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求出结果．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得：利润函数y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8(3-

2

x+1

)+4-x=28-

16

x+1

-x（其中x≥0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y=29-(

16

x+1

+x+1)≤29-2

16 x+1 •(x+1)

=21
当且仅当

16

x+1

=x+1，即x=3时取等号，
所以，厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的最大利润为21万元．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，同时考查了构造并应用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求函数最值问题，应用基本不等式时要注意等号成立的条件．