Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为

6

，且经过点(1，

1

2

)．若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P，Q，求证：OP⊥OQ．

Answer 1

分析：由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为

6

，椭圆经过点(1，

1

2

)，推导出椭圆方程为

2x2

3

+

4y2

3

=1．由此能够证明OP⊥OQ．

解答：解：∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为

6

，
∴设椭圆方程为

x2

3 2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆经过点(1，

1

2

)，
∴

2

3

+

1 4

b2

=1，解得b²=

3

4

，
∴椭圆方程为

2x2

3

+

4y2

3

=1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x+y-1=0 2x2+4y2=3

，得6x²-8x+1=0，
∴x₁+x₂=

4

3

，x1x2 =

1

6

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

4

3

+

1

6

=-

1

6

．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴OP⊥OQ．

点评：本题考查直线垂直的证明，具体涉及到椭圆方程的性质．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．