Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4和直线l：kx-y-4k+3=0
（1）求证：不论k取什么值，直线和圆总相交；
（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线l的方程y-3=k（x-4）可得直线l恒通过定点（4，3），而点（4，3）在圆的内部，故直线l与圆C总相交．
（2）先求出圆心到直线l的距离为d，设弦长为L，则，再根据L的解析式，利用基本不等式求得
L的最小值．
解答：解：（1）证明：由直线l的方程可得y-3=k（x-4），则直线l恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C的方程，得（4-3）²+（3-4）²=2＜4，
所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l与圆C总相交．
（2）设圆心到直线l的距离为d，则 ，
又设弦长为L，则，即  =4-（1+）=3-≥2．
∴当k=1时，，
∴L_min=2，所以圆被直线截得最短的弦长为2．
点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．