题目内容

某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t=0）的函数关系为W=100 $数学公式$ ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？

解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：
y=100+10xt-10t-100 $\text{[math]}$ ，且0≤t≤16．
根据题意0＜y≤300，∴0＜100+10xt-10t-100 $\text{[math]}$ ≤300．
当t=0时，结论成立．
当t＞0时，由左边得x＞1+10（ $\text{[math]}$ ）
令m= $\text{[math]}$ ，由0＜t≤16，m≥ $\text{[math]}$ ，
记f（t）=1+10（ $\text{[math]}$ ）=1+10m²-10m³，（m≥ $\text{[math]}$ ），
则f′（t）=20m-30 m ²=0得m=0或m= $\text{[math]}$ ．
∵当 $\text{[math]}$ ≤m＜ $\text{[math]}$ 时，f′（t）＞0；当m＞ $\text{[math]}$ 时，f′（t）＜0，
∴所以m= $\text{[math]}$ 时（此时t= $\text{[math]}$ ），f（t）最大值=1+10（ $\text{[math]}$ ）²-10（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ≈2.48．
当t= $\text{[math]}$ 时，1+10（ $\text{[math]}$ ）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．
由右边得x≤ $\text{[math]}$ +1，
当t=16时， $\text{[math]}$ +1取最小值 $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ∈（3，4）．
即x≤3．
综合上述，进水量应选为第3级．
分析：解决本题的关键是水塔中的水不空又不会使水溢出，其存水量的平衡与进水量、选择的进水级别与进水时间相关，而出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数．因此设进水量选第x级，t小时后水塔中水的剩余量为：y=100+10xt-10t-100 $\text{[math]}$ ，且0≤t≤16．解0＜y≤300，当t＞0时，由左边得x＞1+10（ $\text{[math]}$ ）．再令m= $\text{[math]}$ ，以m为单位得到函数y=1+10m²-10m³，（m≥ $\text{[math]}$ ），利用导数讨论这个函数的单调性，得出x≥3，再由右边得x≤ $\text{[math]}$ +1，类似于前面的讨论得出x≤3，从而最终得出x=3．
点评：本题以函数在实际生活中的应用为例，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，属于难题．着重考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个问题的解．在解题过程中运用了化二元为一元，化为基本初等函数的数学思想．