题目内容
已知函数f(x)=(x∈R)满足下列条件：对任意的实x1、x2都有λ（x1-x2）2≤(x1-x2)［f(x2)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,其中λ是大于0的常数.设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-λf(a).(1)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;
(2)证明（b-a0）2≤(1-λ2)(a-a0)2.
解析：(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2，则由?λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］ ①
和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2| ②
可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,从而λ≤1.
假设有b0≠a0，使得f(b0)=0,则由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)·［f(a0)-f(b0)］=0矛盾，故不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.
(2)由b=a-λf(a)
可知（b-a0）2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2 ③
由f(a0)=0和①式知，（a-a0）f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2 ④
由f(a0)=0和②式知，［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2 ⑤
将④⑤代入③得（b-a0）2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2.
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