题目内容

设函数f(x)=
1
2
cosx-
3
2
sinx+1,x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a的值.
分析:(1)f(x)解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可确定出f(x)的值域;
(2)根据f(B)=1,以及f(x)解析式求出B的度数,确定出cosB的值,再利用余弦定理即可求出a的值.
解答:解:(1)f(x)=
1
2
cosx-
3
2
sinx+1=sin(x+
π
6
)+1,
∵sin(x+
π
6
)∈[-1,1],
∴f(x)的值域为[0,2];
(2)由f(B)=1得sin(B+
π
6
)+1=1,即sin(B+
π
6
)=0,
又0<B<π,∴B=
π
6

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2-3a+2=0,
解得:a=1或2.
点评:此题考查了余弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
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