Question

已知直线l过点P(3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.

Answer 1

解析:本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算.

解:设直线的倾斜角为α，则它的方程为(t为参数)，由A、B是坐标轴上的点知y_A=0，x_B=0，?

∴0=2+tsinα，即|PA|=|t|=;0=3+tcosα，即|PB|=|t|=-故|PA|·|PB|=∵90°＜α＜180°，∴当2α=270°,即α=135°时，|PA|·|PB|有最小值.∴直线方程为(t为参数)，化为普通方程即x+y-5=0.

点评:直线的参数方程和普通方程可以进行互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.